Задача №09903 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В прямоугольном треугольнике ABC внешний угол при вершине A равен 120^. Катет AC = 29. Найдите гипотенузу AB.

Найдём внутренний угол BAC прямоугольного треугольника ABC. Внутренний угол BAC и внешний угол при вершине A являются смежными, поэтому их сумма равна 180^: BAC = 180^ - 120^ = 60^. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C косинус острого угла A равен отношению прилежащего катета AC к гипотенузе AB: cos( BAC) = (AC)/(AB). cos(60^) = (29)/(AB). Так как cos(60^) = (1)/(2) , получаем: (1)/(2) = (29)/(AB) => AB = 29 * 2 = 58. Также задачу можно решить через свойство угла 30^: B = 90^ - BAC = 90^ - 60^ = 30^. Катет AC, лежащий напротив угла в 30^, равен половине гипотенузы AB, откуда AB = 2 * AC = 58.

58