Задача №09903

Найдём внутренний угол $BAC$ прямоугольного треугольника $ABC\text{.}$ Внутренний угол $BAC$ и внешний угол при вершине $A$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle BAC=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ косинус острого угла $A$ равен отношению прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB\text{:}$

$$\cos (\angle BAC)=\frac{AC}{AB}.$$ $$\cos (60^{\circ })=\frac{29}{AB}.$$

Так как $\cos (60^{\circ })=\frac{1}{2}\text{,}$ получаем:

$$\frac{1}{2}=\frac{29}{AB}\Rightarrow AB=29\cdot 2=58.$$

Также задачу можно решить через свойство угла $30^{\circ }\text{:}$

$$\angle B=90^{\circ }-\angle BAC=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

Катет $AC\text{,}$ лежащий напротив угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы $AB\text{,}$ откуда $AB=2\cdot AC=58\text{.}$