Задача №09892

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ косинус острого угла $A$ равен отношению прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB\text{:}$

$$\cos A=\frac{AC}{AB}.$$

Используем основное тригонометрическое тождество, чтобы найти $\cos A\text{:}$

$${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1.$$

Так как $A$ — острый угол, его косинус положителен:

$$\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}.$$

Выразим и найдем длину стороны $AC\text{:}$

$$AC=AB\cdot \cos A=13\cdot \frac{5}{13}=5.$$

Ответ: 5