Задача №09890

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ гипотенузой служит $AB\text{,}$ а катеты — $BC$ и $AC\text{.}$

Косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB\text{:}$

$$\cos B=\frac{BC}{AB}\Rightarrow BC=AB\cdot \cos B=26\cdot \frac{12}{13}=24.$$

Найдём синус угла $B$ из основного тригонометрического тождества:

$$\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}.$$

Тогда противолежащий катет $AC\text{:}$

$$AC=AB\cdot \sin B=26\cdot \frac{5}{13}=10.$$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 24=120.$$

Ответ: 120.