Задача №09889 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В равнобедренном треугольнике ABC медиана BK = 5, боковая сторона BC = 13. Найдите длину отрезка MN, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.

В равнобедренном треугольнике ABC с боковыми сторонами AB = BC = 13 медиана BK, проведённая к основанию AC, также является высотой. Следовательно, треугольник BKC — прямоугольный ( BKC = 90^). По теореме Пифагора найдём катет KC: KC = sqrt(BC^2 - BK^2) KC = sqrt(13^2 - 5^2) = sqrt(169 - 25) = sqrt(144) = 12. Так как BK — медиана, то K — середина AC, откуда: AC = 2 * KC = 2 * 12 = 24. Отрезок MN соединяет середины боковых сторон AB и BC, следовательно, он является средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии треугольника: MN = (AC)/(2) = (24)/(2) = 12.

12