Задача №09888

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD=17^{\circ }\text{.}$ Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD\text{.}$

По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно:

По условию задачи диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB\text{,}$ то есть:

Из этих равенств получаем:

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD=AB\text{.}$ Таким образом:

Следовательно, треугольник $COD$ является равнобедренным с основанием $OD\text{.}$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

Сумма углов в треугольнике $COD$ равна $180^{\circ }\text{:}$

Так как точка $O$ лежит на диагонали $AC\text{,}$ угол $\angle OCD$ совпадает с углом $\angle ACD=17^{\circ }\text{.}$ Подставим это значение:

Ответ: $81,5^{\circ }\text{.}$