Задача №09884

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBD\text{.}$ У них:

1. $AB=BC$ (по условию);
2. $AD=CD$ (по условию);
3. сторона $BD$ — общая.

Следовательно, $△ABD=△CBD$ по трём сторонам (третий признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответственных углов:

$$\angle A=\angle C.$$

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ }\text{.}$ Составим уравнение для углов четырёхугольника $ABCD\text{:}$

$$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }.$$

Так как $\angle A=\angle C\text{,}$ подставим известные значения углов $B$ и $D$ в уравнение:

$$\angle A+101^{\circ }+\angle A+105^{\circ }=360^{\circ }.$$ $$2\angle A+206^{\circ }=360^{\circ }.$$ $$2\angle A=360^{\circ }-206^{\circ }.$$ $$2\angle A=154^{\circ }.$$ $$\angle A=77^{\circ }.$$

Ответ: $77^{\circ }\text{.}$