Задача №09876

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с боковыми сторонами $AB=BC=51\text{,}$ то углы при основании $A$ и $C$ равны.

Проведём высоту $BH$ к основанию $AC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому $AH=HC\text{,}$ а основание $AC=2AH\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($\angle AHB=90^{\circ }$):

1. Найдём высоту $BH\text{:}$

$$BH=AB\cdot \sin A=51\cdot \frac{15}{17}=3\cdot 15=45.$$

2. Используя основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ и учитывая, что угол $A$ острый, найдём косинус угла $A\text{:}$

$$\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(\frac{15}{17}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{225}{289}}=\sqrt{\frac{64}{289}}=\frac{8}{17}.$$

3. Найдём отрезок $AH\text{:}$

$$AH=AB\cdot \cos A=51\cdot \frac{8}{17}=3\cdot 8=24.$$

4. Тогда основание $AC$ равно:

$$AC=2\cdot AH=2\cdot 24=48.$$

5. Площадь треугольника $ABC$ равна полупроизведению основания на высоту:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 48\cdot 45=24\cdot 45=1080.$$

Ответ: 1080