Задача №09874

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC\text{,}$ медиана $BM$ равна 6. Площадь треугольника $ABC$ равна $12\sqrt{7}\text{.}$ Найдите длину стороны $AB\text{.}$

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB=BC\text{,}$ а $BM$ — медиана, проведённая к основанию $AC\text{,}$ то $BM$ является также высотой, то есть $BM\perp AC\text{.}$

Площадь треугольника:

Отсюда:

значит $AC=4\sqrt{7}\text{,}$ и $MC=\frac{AC}{2}=2\sqrt{7}\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $BMC$ по теореме Пифагора:

Тогда $BC=8\text{,}$ а так как $AB=BC\text{,}$ то $AB=8\text{.}$

Ответ: 8.