Задача №09873

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD\text{.}$ По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому:

$$OC=\frac{1}{2}AC.$$

Из условия задачи известно, что диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB\text{:}$

$$AC=2AB.$$

По свойству параллелограмма, противоположные стороны равны, то есть $CD=AB\text{.}$ Следовательно:

$$AC=2CD\Rightarrow OC=CD.$$

Таким образом, в треугольнике $OCD$ две стороны равны ($OC=CD$), то есть этот треугольник является равнобедренным с основанием $OD\text{.}$

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$$\angle ODC=\angle DOC.$$

Сумма углов в треугольнике $OCD$ равна $180^{\circ }\text{.}$ Так как угол при вершине $\angle ACD=169^{\circ }\text{,}$ найдем угол $\angle DOC\text{:}$

$$\angle DOC=\frac{180^{\circ }-\angle ACD}{2}=\frac{180^{\circ }-169^{\circ }}{2}=5,5^{\circ }.$$

Угол между диагоналями параллелограмма (угол между прямыми $AC$ и $BD$) определяется как меньший из образованных углов. Так как $5,5^{\circ }⩽90^{\circ }\text{,}$ то искомый угол равен $5,5^{\circ }\text{.}$

Ответ: $5,5^{\circ }\text{.}$