Задача №09866

Поскольку $BM$ — медиана треугольника $ABC\text{,}$ точка $M$ является серединой стороны $AC\text{.}$ Следовательно:

$$AM=MC=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4.$$

Из условия известно, что $BC=BM\text{,}$ значит, треугольник $BMC$ — равнобедренный с основанием $MC\text{.}$

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой. Так как $BH$ — высота, проведённая к основанию $MC\text{,}$ то точка $H$ является серединой отрезка $MC\text{.}$ Тогда:

$$MH=\frac{MC}{2}=\frac{4}{2}=2.$$

Длина отрезка $AH$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MH\text{:}$

$$AH=AM+MH=4+2=6.$$

Ответ: $6$