Задача №09863

Сумма двух углов ромба равна $240^{\circ }\text{,}$ а его периметр равен $24\text{.}$ Найдите меньшую диагональ ромба.

1. Пусть сторона ромба равна $a\text{.}$ Периметр ромба вычисляется по формуле $P=4a\text{.}$ Из условия известно, что $P=24\text{,}$ следовательно:

2. Сумма любых двух соседних углов ромба равна $180^{\circ }\text{.}$ Так как в условии указано, что сумма двух углов равна $240^{\circ }\text{,}$ эти углы не могут быть соседними. Значит, это противоположные углы, которые в ромбе равны между собой. Пусть тупой угол ромба равен $\beta \text{.}$ Тогда:

Найдем острый угол ромба $\alpha \text{:}$

3. Меньшая диагональ ромба лежит против острого угла. Она делит ромб на два равных треугольника. Рассмотрим один из таких треугольников: две его стороны равны стороне ромба ($a=6$), а угол между ними составляет $60^{\circ }\text{.}$ Так как стороны равны, треугольник равнобедренный, а поскольку угол при вершине равен $60^{\circ }\text{,}$ то и углы при основании также равны $60^{\circ }\text{.}$ Таким образом, треугольник является равносторонним.

Следовательно, меньшая диагональ ромба равна его стороне:

Ответ: 6