Задача №09859

По условию задачи отрезок $BM$ является медианой и делит угол $B$ пополам, то есть является биссектрисой треугольника $ABC\text{.}$

Так как биссектриса и медиана, проведённые из вершины $B\text{,}$ совпадают, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC\text{,}$ то есть $AB=BC\text{.}$

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, $BM\perp AC\text{,}$ и треугольник $ABM$ является прямоугольным (угол $AMB=90^{\circ }$).

Вычислим углы треугольника $ABM\text{:}$

$$\angle ABM=\frac{\angle B}{2}=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$$ $$\angle A=90^{\circ }-\angle ABM=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$$

В прямоугольном треугольнике $ABM$ катет $BM$ лежит против угла $A=30^{\circ }\text{,}$ поэтому он равен половине гипотенузы $AB\text{:}$

$$BM=\frac{AB}{2}\Rightarrow AB=2\cdot BM$$

Подставим известное значение $BM=29\text{:}$

$$AB=2\cdot 29=58$$

Ответ: 58.