Задача №09856

Рассмотрим треугольники $BKM$ и $DKA\text{:}$

1. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то его противоположные стороны параллельны ($BC\parallel AD$).
2. Углы $\angle KBM$ и $\angle KDA$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD\text{.}$
3. Углы $\angle KMB$ и $\angle KAD$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AM\text{.}$
4. Следовательно, треугольники $BKM$ и $DKA$ подобны по двум углам ($△BKM\sim △DKA$).

Из подобия треугольников следует отношение сходственных сторон:

$$\frac{BK}{KD}=\frac{BM}{AD}.$$

Так как $M$ — середина стороны $BC\text{,}$ а противоположные стороны параллелограмма равны ($BC=AD$), получаем:

$$BM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD.$$

Тогда отношение сторон равно:

$$\frac{BK}{KD}=\frac{1}{2}⟹KD=2BK.$$

Длина диагонали $BD$ состоит из суммы длин отрезков $BK$ и $KD\text{:}$

$$BD=BK+KD=BK+2BK=3BK.$$

Подставим известное значение $BD=15\text{:}$

$$3BK=15⟹BK=5.$$

Ответ: $5\text{.}$