Задача №09856 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В параллелограмме ABCD отмечена точка M — середина стороны BC. Отрезки BD и AM пересекаются в точке K. Найдите длину отрезка BK, если BD = 15.

Рассмотрим треугольники BKM и DKA : 1. Так как ABCD — параллелограмм, то его противоположные стороны параллельны ( BC AD ). 2. Углы KBM и KDA равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD . 3. Углы KMB и KAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AM . 4. Следовательно, треугольники BKM и DKA подобны по двум углам ( BKM DKA ). Из подобия треугольников следует отношение сходственных сторон: (BK)/(KD) = (BM)/(AD). Так как M — середина стороны BC , а противоположные стороны параллелограмма равны ( BC = AD ), получаем: BM = (1)/(2) BC = (1)/(2) AD. Тогда отношение сторон равно: (BK)/(KD) = (1)/(2) KD = 2BK. Длина диагонали BD состоит из суммы длин отрезков BK и KD : BD = BK + KD = BK + 2BK = 3BK. Подставим известное значение BD = 15 : 3BK = 15 BK = 5. Ответ: 5.

5