Задача №09855

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $BC=7\text{,}$ $AD=13$ и боковыми сторонами $AB=CD=5\text{.}$

Проведём высоты $BH$ и $CK$ из вершин $B$ и $C$ к основанию $AD\text{.}$

Четырёхугольник $HBCK$ является прямоугольником, поэтому $HK=BC=7\text{.}$

Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, прямоугольные треугольники $ABH$ и $DCK$ равны по гипотенузе и катету. Следовательно, отрезок $AH$ равен отрезку $KD\text{:}$

$$AH=KD=\frac{AD-HK}{2}=\frac{13-7}{2}=3.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH\text{.}$ По теореме Пифагора найдём высоту $BH\text{:}$

$$BH=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4.$$

Таким образом, высота трапеции равна 4.

Ответ: 4