Задача №09852

Внутренний угол $ACB$ и внешний угол при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle ACB=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$$

По теореме косинусов для треугольника $ABC\text{:}$

$$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle ACB.$$

Подставим известные значения $BC=\sqrt{13}\text{,}$ $AC=4\sqrt{13}$ и $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}\text{:}$

$$A{B}^2=(4\sqrt{13}{)}^2+(\sqrt{13}{)}^2-2\cdot 4\sqrt{13}\cdot \sqrt{13}\cdot \cos 60^{\circ }$$ $$A{B}^2=16\cdot 13+13-2\cdot 4\cdot 13\cdot \frac{1}{2}$$ $$A{B}^2=208+13-52$$ $$A{B}^2=169.$$

Так как длина стороны треугольника положительна, получаем:

$$AB=\sqrt{169}=13.$$