Задача №09852 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC известно, что BC = sqrt(13), AC = 4sqrt(13), внешний угол при вершине C равен 120^. Найдите AB.

Внутренний угол ACB и внешний угол при вершине C являются смежными, поэтому их сумма равна 180^: ACB = 180^ - 120^ = 60^. По теореме косинусов для треугольника ABC: AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos ACB. Подставим известные значения BC = sqrt(13), AC = 4sqrt(13) и cos 60^ = (1)/(2): AB^2 = (4sqrt(13))^2 + (sqrt(13))^2 - 2 * 4sqrt(13) * sqrt(13) * cos 60^ AB^2 = 16 * 13 + 13 - 2 * 4 * 13 * (1)/(2) AB^2 = 208 + 13 - 52 AB^2 = 169. Так как длина стороны треугольника положительна, получаем: AB = sqrt(169) = 13.

13