Задача №09849

Соседние углы ромба в сумме дают $180^{\circ }\text{,}$ поэтому два угла, дающие в сумме $120^{\circ }\text{,}$ — это два равных противоположных угла. Значит, каждый из них равен $60^{\circ }\text{,}$ а углы ромба равны $60^{\circ }$ и $120^{\circ }\text{.}$

Из периметра найдём сторону ромба:

$$a=\frac{24}{4}=6.$$

Меньшая диагональ лежит против меньшего угла $60^{\circ }\text{.}$ Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и этой диагональю; угол между сторонами равен $60^{\circ }\text{.}$ По теореме косинусов:

$$d^2=a^2+a^2-2a^2\cos 60^{\circ }=36+36-2\cdot 36\cdot \frac{1}{2}=72-36=36.$$

Тогда:

$$d=\sqrt{36}=6.$$

Треугольник со сторонами $6\text{,}$ $6$ и углом $60^{\circ }$ между ними равносторонний, поэтому меньшая диагональ равна стороне.

Ответ: 6.