Задача №09845

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{,}$ $AB=57\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. Следовательно, все его стороны равны: $AB=BC=CD=DA=57\text{.}$

В ромбе противоположные углы равны, то есть $\angle A=\angle C\text{.}$ По условию $\angle A+\angle C=120^{\circ }\text{,}$ следовательно:
$\angle A=120^{\circ }:2=60^{\circ }\text{.}$

Рассмотрим треугольник $ABD\text{.}$ Так как $AB=AD\text{,}$ треугольник $ABD$ — равнобедренный. Угол при его вершине $A$ равен $60^{\circ }\text{,}$ значит, углы при основании:

Таким образом, треугольник $ABD$ является равносторонним, откуда $BD=AB=57\text{.}$

Ответ: 57