Задача №09838

Проведём высоту $BH$ к основанию $AC\text{.}$

Так как треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC\text{,}$ то высота $BH$ является также и медианой. Следовательно:

$$AH=HC=\frac{AC}{2}=\frac{22}{2}=11.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH\text{.}$ По теореме Пифагора:

$$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2.$$

Отсюда выразим и найдём высоту $BH\text{:}$

$$B{H}^2=A{B}^2-A{H}^2.$$ $$B{H}^2=61^2-11^2.$$ $$B{H}^2=(61-11)(61+11).$$ $$B{H}^2=50\cdot 72=3600.$$ $$BH=\sqrt{3600}=60.$$

Площадь треугольника $ABC$ равна половине произведения основания на высоту:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 22\cdot 60=11\cdot 60=660.$$

Ответ: 660