Задача №09829 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В параллелограмме ABCD отмечена точка M — середина стороны BC. Отрезки BD и AM пересекаются в точке K. Найдите длину отрезка BK, если BD = 15.

Рассмотрим треугольники BKM и DKA: 1. Углы BKM и DKA равны как вертикальные. 2. Углы KBM и KDA равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Следовательно, треугольники BKM и DKA подобны по двум углам. Из подобия треугольников запишем отношение сходственных сторон: (BK)/(KD) = (BM)/(AD) Так как M — середина стороны BC, то BM = (1)/(2) BC. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому BC = AD, откуда: BM = (1)/(2) AD => (BM)/(AD) = (1)/(2) Таким образом: (BK)/(KD) = (1)/(2) => KD = 2BK Длина диагонали равна: BD = BK + KD = BK + 2BK = 3BK По условию BD = 15: 3BK = 15 => BK = 5 Ответ: 5

5