Задача №09824

Рассмотрим треугольник $ALC\text{.}$ В нём $\angle ALC=62^{\circ }\text{,}$ а $\angle ACL=\angle ACB$ — искомый угол, обозначим его $\gamma \text{.}$

Сумма углов треугольника $ALC$ равна $180^{\circ }\text{,}$ поэтому:

$$\angle LAC=180^{\circ }-62^{\circ }-\gamma =118^{\circ }-\gamma .$$

Так как $AL$ — биссектриса угла $A\text{,}$ то весь угол $BAC$ вдвое больше угла $LAC\text{:}$

$$\angle BAC=2\angle LAC=2(118^{\circ }-\gamma )=236^{\circ }-2\gamma .$$

Запишем сумму углов треугольника $ABC\text{:}$

$$\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ }.$$

Подставим известные значения ($\angle ABC=47^{\circ }$):

$$(236^{\circ }-2\gamma )+47^{\circ }+\gamma =180^{\circ }.$$

Тогда:

$$283^{\circ }-\gamma =180^{\circ }\Rightarrow \gamma =103^{\circ }.$$

Проверка: $\angle BAC=236^{\circ }-2\cdot 103^{\circ }=30^{\circ }\text{;}$ сумма углов $30^{\circ }+47^{\circ }+103^{\circ }=180^{\circ }$ — верно.

Ответ: 103.