Задача №09822

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{,}$ $AB=63\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом. Следовательно, все его стороны равны: $AB=BC=CD=DA=63\text{.}$

2. В параллелограмме противоположные углы равны, то есть $\angle A=\angle C\text{.}$ По условию $\angle A+\angle C=120^{\circ }\text{,}$ откуда следует, что $\angle A=\angle C=60^{\circ }\text{.}$

3. Рассмотрим треугольник $ABD\text{.}$ В нём стороны $AB$ и $AD$ равны как стороны ромба ($AB=AD=63$), значит, треугольник $ABD$ — равнобедренный.

4. Так как угол при вершине $A$ в равнобедренном треугольнике $ABD$ равен $60^{\circ }\text{,}$ то и углы при основании равны:

5. Следовательно, треугольник $ABD$ является равносторонним. Значит, $BD=AB=63\text{.}$

Ответ: 63.