Задача №09818

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ синус острого угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB\text{:}$

$$\sin A=\frac{BC}{AB}$$

Подставим известные значения, чтобы найти катет $BC\text{:}$

$$\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{BC}{\sqrt{13}}\Rightarrow BC=3.$$

По теореме Пифагора найдём второй катет $AC\text{:}$

$$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$$ $$(\sqrt{13}{)}^2=A{C}^2+3^2$$ $$13=A{C}^2+9$$ $$A{C}^2=4\Rightarrow AC=2.$$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3=3.$$

Ответ: $3\text{.}$