Задача №09812

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC\text{,}$ медиана $BM$ равна 4. Площадь треугольника $ABC$ равна $8\sqrt{5}\text{.}$ Найдите длину стороны $AB\text{.}$

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с боковыми сторонами $AB=BC$ медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию, также является высотой. Следовательно, $BM\perp AC$ и треугольник $ABM$ — прямоугольный.

Площадь треугольника $ABC$ выражается через основание и высоту:

Подставим известные значения площади и медианы (высоты) в формулу:

Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC\text{,}$ поэтому:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ (угол $M$ равен $90^{\circ }$). По теореме Пифагора:

Так как длина отрезка всегда положительна:

Ответ: 6