Задача №09809 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

Сумма двух углов ромба равна 240^ , а его меньшая диагональ равна 9. Найдите периметр ромба.

Пусть alpha и beta — углы ромба, причём сумма соседних углов ромба равна 180^ . Так как сумма двух углов ромба равна 240^ (что больше 180^ ), эти два угла могут быть только противоположными тупыми углами ромба. Поскольку противоположные углы ромба равны, каждый из них равен: 240^ : 2 = 120^. Тогда острый угол ромба равен: 180^ - 120^ = 60^. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Меньшая диагональ соединяет вершины тупых углов и делит ромб на два равных треугольника. Рассмотрим один из них: это равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются стороны ромба, а угол между ними равен 60^ . Следовательно, этот треугольник является равносторонним. Таким образом, сторона ромба равна его меньшей диагонали: a = 9. Периметр ромба равен сумме четырёх его сторон: P = 4a = 4 * 9 = 36. Ответ: 36.

36