В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов, AB = 34, AC = 32. Найдите BD.

Задача №09805: Планиметрия

1. Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, то такой параллелограмм является ромбом.

2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.

3. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $A C$ и $B D .$ Тогда треугольник $A O B$ является прямоугольным ( $∠ A O B = 9 0^{\circ}$ ).

4. Найдём катет $A O,$ равный половине диагонали $A C :$

A O = \frac{A C}{2} = \frac{32}{2} = 16

5. По теореме Пифагора для треугольника $A O B$ (где гипотенуза $A B = 34$ ):

A B^{2} = A O^{2} + B O^{2}

3 4^{2} = 1 6^{2} + B O^{2}

1156 = 256 + B O^{2}

B O^{2} = 1156 - 256 = 900

B O = 900 = 30

6. Так как диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, найдём искомую диагональ $B D :$

B D = 2 \cdot B O = 2 \cdot 30 = 60

Ответ: 60