Задача №09802

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ высота $BK$ также является медианой. Следовательно, точка $K$ — середина стороны $AC\text{,}$ а отрезок $KC$ равен:

$$KC=\frac{AC}{2}=\frac{48}{2}=24.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKC$ (угол $BKC$ равен $90^{\circ }$). По теореме Пифагора найдём гипотенузу $BC\text{:}$

$$BC=\sqrt{B{K}^2+K{C}^2}=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26.$$

Поскольку точка $P$ — середина стороны $BC\text{,}$ отрезок $KP$ является медианой прямоугольного треугольника $BKC\text{,}$ проведённой к гипотенузе.

Длина медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы:

$$KP=\frac{BC}{2}=\frac{26}{2}=13.$$

Ответ: $13$