Задача №09792

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ высота $BM$ также является медианой, откуда следует, что $AM=MC$ и $AC=2\cdot AM\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ ($\angle AMB=90^{\circ }$). Тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$$\mathrm{tg}A=\frac{BM}{AM}$$

Подставим известные из условия задачи значения:

$$1,8=\frac{9}{AM}\Rightarrow AM=\frac{9}{1,8}=5$$

Найдём длину основания $AC\text{:}$

$$AC=2\cdot AM=2\cdot 5=10$$

Площадь треугольника $ABC$ равна половине произведения основания на высоту:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BM=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 9=45.$$

Ответ: 45