Задача №09791

Пусть дан ромб $ABCD\text{,}$ в котором сумма двух углов равна $240^{\circ }\text{.}$

В ромбе сумма соседних углов равна $180^{\circ }\text{,}$ значит, два угла, сумма которых равна $240^{\circ }\text{,}$ должны быть противоположными. Поскольку противоположные углы ромба равны, каждый из них равен:

$$240^{\circ }:2=120^{\circ }.$$

Тогда два других (острых) угла ромба равны:

$$180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$$

Пусть $\angle BAD=60^{\circ }\text{.}$ Меньшая диагональ $BD=15$ соединяет вершины острых углов. Рассмотрим треугольник $ABD\text{:}$

• Он является равнобедренным, так как стороны ромба равны ($AB=AD$).
• Угол при вершине $\angle BAD=60^{\circ }\text{.}$

Следовательно, углы при основании $BD$ также равны $60^{\circ }\text{:}$

$$\angle ABD=\angle ADB=\frac{180^{\circ }-60^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Таким образом, треугольник $ABD$ — равносторонний. Отсюда сторона ромба равна его меньшей диагонали:

$$AB=BD=15.$$

Периметр ромба равен сумме длин четырех его сторон:

$$P=4\cdot AB=4\cdot 15=60.$$

Ответ: 60