Задача №09790

В треугольнике $ABC$ $AB=BC=13\text{,}$ значит он равнобедренный с основанием $AC\text{.}$ Точка $M$ — середина $AC\text{,}$ поэтому $BM$ — медиана, проведённая к основанию.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Значит, $BM\perp AC\text{,}$ и треугольник $BMC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $M\text{.}$

Так как $M$ — середина $AC\text{,}$ то:

$$MC=\frac{AC}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

По теореме Пифагора в треугольнике $BMC\text{:}$

$$BM=\sqrt{B{C}^2-M{C}^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12.$$

Ответ: 12.