В треугольнике ABC медиана BM перпендикулярна AC. Найдите AB, если BM = 25, AC = 120.

Задача №09788: Планиметрия

Поскольку $B M$ — медиана треугольника $A B C,$ она делит сторону $A C$ пополам. Следовательно, отрезок $A M$ равен:

A M = \frac{A C}{2} = \frac{120}{2} = 60

Так как медиана $B M$ перпендикулярна стороне $A C,$ угол $B M A$ равен $9 0^{\circ},$ а треугольник $A B M$ является прямоугольным.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $A B M :$

A B^{2} = A M^{2} + B M^{2}

Подставим известные значения:

A B^{2} = 6 0^{2} + 2 5^{2} = 3600 + 625 = 4225

A B = 4225 = 65.

Поскольку $B M$ — медиана треугольника $A B C,$ она делит сторону $A C$ пополам. Следовательно, отрезок $A M$ равен:

A M = \frac{A C}{2} = \frac{120}{2} = 60

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $A B M :$

A B^{2} = A M^{2} + B M^{2}

Подставим известные значения:

A B^{2} = 6 0^{2} + 2 5^{2} = 3600 + 625 = 4225

A B = 4225 = 65.