Задача №09776

Пусть $ABCD$ — данный ромб, в котором сумма двух углов равна $120^{\circ }\text{.}$

У ромба сумма соседних углов всегда равна $180^{\circ }\text{,}$ поэтому два угла, сумма которых равна $120^{\circ }\text{,}$ могут быть только противоположными острыми углами. Таким образом, каждый из этих углов равен:

$$\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Пусть $\angle A=60^{\circ }\text{.}$

Все стороны ромба равны между собой. Зная, что периметр ромба равен 52, найдём длину одной его стороны:

$$AB=BC=CD=AD=\frac{52}{4}=13.$$

Рассмотрим треугольник $ABD\text{,}$ образованный сторонами $AB\text{,}$ $AD$ и меньшей диагональю $BD\text{.}$ Так как $AB=AD=13\text{,}$ этот треугольник является равнобедренным с углом при вершине $\angle A=60^{\circ }\text{.}$ Следовательно, углы при основании равны:

$$\angle ABD=\angle ADB=\frac{180^{\circ }-60^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Так как все углы треугольника $ABD$ равны $60^{\circ }\text{,}$ он является равносторонним. Следовательно, длина меньшей диагонали $BD$ равна длине стороны ромба:

$$BD=AB=13.$$

Ответ: 13