Задача №09776 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

Сумма двух углов ромба равна 120^, а его периметр равен 52. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

Пусть ABCD — данный ромб, в котором сумма двух углов равна 120^. У ромба сумма соседних углов всегда равна 180^, поэтому два угла, сумма которых равна 120^, могут быть только противоположными острыми углами. Таким образом, каждый из этих углов равен: (120^)/(2) = 60^. Пусть A = 60^. Все стороны ромба равны между собой. Зная, что периметр ромба равен 52, найдём длину одной его стороны: AB = BC = CD = AD = (52)/(4) = 13. Рассмотрим треугольник ABD, образованный сторонами AB, AD и меньшей диагональю BD. Так как AB = AD = 13, этот треугольник является равнобедренным с углом при вершине A = 60^. Следовательно, углы при основании равны: ABD = ADB = (180^ - 60^)/(2) = 60^. Так как все углы треугольника ABD равны 60^, он является равносторонним. Следовательно, длина меньшей диагонали BD равна длине стороны ромба: BD = AB = 13. Ответ: 13

13