Задача №09774

Решение

На рисунке ($AB$) — диаметр окружности; точка (D) лежит над диаметром, точка (C) — под ним. Проведены хорды (DB), (DC) и (CB).

Шаг 1. Угол, опирающийся на диаметр.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Угол (\angle ACB) опирается на диаметр (AB), значит

[
\angle ACB = 90^\circ.
]

Шаг 2. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

Углы (\angle DBA) и (\angle DCA) — вписанные и опираются на одну и ту же дугу (AD) (точки (B) и (C) лежат на окружности и «смотрят» на хорду (AD) с одной стороны). Поэтому они равны:

[
\angle DCA = \angle DBA = 23^\circ.
]

Шаг 3. Искомый угол.

Луч (CD) проходит внутри угла (\angle ACB) (точка (D) и точка (A) находятся по одну сторону от прямой (CB)), поэтому

[
\angle DCB = \angle ACB - \angle ACD = 90^\circ - 23^\circ = 67^\circ.
]

Ответ: (67).