Задача №09770

На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD\text{,}$ у которого $AB=36$ и $AD=84\text{,}$ отмечена точка $E$ так, что $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Найдите $ED\text{.}$

Введём обозначения сторон прямоугольника $ABCD\text{:}$ $AB=36$ — боковая сторона, $AD=84$ — основание. Точка $E$ лежит на стороне $BC\text{,}$ причём $BC=AD=84$ и $BC\parallel AD\text{.}$

Рассмотрим треугольник $ABE\text{.}$ В прямоугольнике $\angle ABC=90^{\circ }\text{,}$ значит $\angle ABE=90^{\circ }\text{,}$ то есть треугольник $ABE$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B\text{.}$

По условию $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Тогда:

Значит треугольник $ABE$ равнобедренный, и катеты равны:

Найдём оставшийся отрезок стороны $BC\text{:}$

Теперь рассмотрим треугольник $ECD\text{.}$ Угол $\angle BCD=90^{\circ }\text{,}$ поэтому треугольник $ECD$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C\text{.}$ Его катеты:

По теореме Пифагора:

Ответ: 60.