Задача №09758

В треугольнике $ABC$ известно, что $BC=4\sqrt{3}\text{,}$ $AC=8\sqrt{3}\text{,}$ внешний угол при вершине $C$ равен $120^{\circ }\text{.}$ Найдите $AB\text{.}$

Внешний угол при вершине $C$ и внутренний угол $ACB$ — смежные, поэтому их сумма равна $180^{\circ }\text{.}$ Тогда:

По теореме косинусов для треугольника $ABC\text{:}$

Подставим данные $BC=4\sqrt{3}\text{,}$ $AC=8\sqrt{3}$ и $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}\text{:}$

Вычислим слагаемые: $(8\sqrt{3}{)}^2=192\text{,}$ $(4\sqrt{3}{)}^2=48\text{,}$ $2\cdot 8\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=8\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}=96\text{.}$ Тогда:

Следовательно:

Ответ: 12.