Задача №09756

Диагональ $AC$ делит трапецию $ABCD$ на два треугольника: $△ABC$ и $△ACD\text{.}$

Высота треугольника $△ABC\text{,}$ проведённая из вершины $A$ к прямой, содержащей основание $BC\text{,}$ равна высоте трапеции $h\text{.}$ Площадь треугольника $△ABC$ вычисляется по формуле:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot h.$$

Площадь трапеции $ABCD$ выражается через основания и высоту:

$$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot h.$$

Найдём отношение площади треугольника $△ABC$ к площади трапеции $ABCD\text{:}$

$$\frac{S_{ABC}}{S_{ABCD}}=\frac{BC}{BC+AD}.$$

Подставим известные из условия значения $BC=4\text{,}$ $AD=8$ и $S_{ABCD}=21\text{:}$

$$\frac{S_{ABC}}{21}=\frac{4}{4+8}$$ $$\frac{S_{ABC}}{21}=\frac{4}{12}$$ $$\frac{S_{ABC}}{21}=\frac{1}{3}$$ $$S_{ABC}=21\cdot \frac{1}{3}=7.$$

Ответ: 7