Задача №09749

1. Внешний и внутренний углы при одной вершине треугольника являются смежными, поэтому их сумма равна $180^{\circ }\text{.}$ Найдем внутренние углы треугольника $ABC$ при вершинах $A$ и $C\text{:}$

$$\angle BAC=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$$ $$\angle BCA=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$$

2. Поскольку углы при основании $AC$ равны $\angle BAC=\angle BCA=30^{\circ }\text{,}$ треугольник $ABC$ является равнобедренным с боковыми сторонами $AB=BC=60\text{.}$

3. Биссектриса $BK\text{,}$ проведенная к основанию равнобедренного треугольника, также является его высотой. Следовательно, треугольник $ABK$ — прямоугольный $\angle AKB=90^{\circ }\text{.}$

4. В прямоугольном треугольнике $ABK$ катет $BK$ лежит против угла $\angle BAK=30^{\circ }\text{,}$ поэтому он равен половине гипотенузы $AB\text{:}$

$$BK=\frac{AB}{2}=\frac{60}{2}=30.$$

Ответ: 30