Задача №09745

В треугольнике $ABC$ сторона $AC=13\text{,}$ $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC=BM\text{.}$ Найдите длину отрезка $AH\text{.}$

Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC\text{,}$ точка $M$ является серединой стороны $AC\text{.}$ Следовательно, отрезок $MC$ равен половине стороны $AC\text{:}$

В треугольнике $BMC$ стороны $BC$ и $BM$ равны ($BC=BM$), значит, треугольник $BMC$ — равнобедренный с основанием $MC\text{.}$

Высота $BH$ в равнобедренном треугольнике $BMC\text{,}$ проведённая к его основанию, также является медианой. Таким образом, точка $H$ — середина отрезка $MC\text{:}$

Длина отрезка $AH$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MH\text{:}$

Ответ: $9,75\text{.}$