Задача №09740

Основания равнобедренной трапеции равны $21$ и $57\text{,}$ боковая сторона равна $82\text{.}$ Найдите длину диагонали трапеции.

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AD$ и $BC\text{,}$ где $AD>BC\text{.}$ Из условия: $AD=57\text{,}$ $BC=21\text{,}$ $AB=CD=82\text{.}$

1. Проведём высоты $BH$ и $CK$ к основанию $AD\text{.}$ Тогда $BH\perp AD\text{,}$ $CK\perp AD\text{,}$ и четырёхугольник $BCHK$ — прямоугольник, поэтому $HK=BC=21\text{.}$

2. Так как трапеция равнобедренная, отрезки $AH$ и $KD$ равны. Обозначим $AH=KD=x\text{.}$

Тогда $AD=AH+HK+KD=x+21+x=2x+21\text{.}$

Из условия: $2x+21=57\Rightarrow 2x=36\Rightarrow x=18\text{.}$

3. В прямоугольном треугольнике $ABH$ находим высоту $BH\text{:}$

4. Рассмотрим треугольник $ACK\text{,}$ где $CK=BH=80\text{,}$ а катет $AK=AH+HK=18+21=39\text{.}$

По теореме Пифагора:

Диагональ $BD$ равна $AC\text{,}$ так как трапеция равнобедренная.

Ответ: 89.