Основания равнобедренной трапеции равны 21 и 57 , боковая сторона равна 82 . Найдите длину диагонали трапеции.
Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC , где AD > BC . Из условия: AD = 57 , BC = 21 , AB = CD = 82 . Проведём высоты BH и CK к основанию AD . Тогда BH AD , CK AD , и четырёхугольник BCHK — прямоугольник, поэтому HK = BC = 21 . Так как трапеция равнобедренная, отрезки AH и KD равны. Обозначим AH = KD = x . Тогда AD = AH + HK + KD = x + 21 + x = 2x + 21 . Из условия: 2x + 21 = 57 => 2x = 36 => x = 18 . В прямоугольном треугольнике ABH находим высоту BH : BH = sqrt(AB^2 - AH^2) = sqrt(82^2 - 18^2) = sqrt(6724 - 324) = sqrt(6400) = 80. Рассмотрим треугольник ACK , где CK = BH = 80 , а катет AK = AH + HK = 18 + 21 = 39 . По теореме Пифагора: AC = sqrt(AK^2 + CK^2) = sqrt(39^2 + 80^2) = sqrt(1521 + 6400) = sqrt(7921) = 89. Диагональ BD равна AC , так как трапеция равнобедренная. Ответ: 89.
89