Задача №09736

В окружности с центром $O$ $AC$ и $BD$ – диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $116^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $ACB\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ являются вертикальными, так как $AC$ и $BD$ — диаметры окружности (прямые пересекаются в точке $O$). Следовательно:

Отрезки $OB$ и $OC$ равны как радиусы окружности. Значит, треугольник $BOC$ — равнобедренный с основанием $BC\text{.}$

Углы при основании равнобедренного треугольника равны:

Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ }\text{,}$ поэтому:

Так как точка $O$ лежит на отрезке $AC\text{,}$ угол $\angle ACB$ совпадает с углом $\angle OCB\text{.}$ Таким образом, $\angle ACB=32^{\circ }\text{.}$