Основания равнобедренной трапеции равны 28 и 100 , боковая сторона равна 60 . Найдите длину диагонали трапеции.

Задача №09731: Планиметрия

1. Пусть $A B C D$ — равнобедренная трапеция с основаниями $B C = 28$ и $A D = 100,$ боковыми сторонами $A B = C D = 60 .$

2. Опустим высоты $B H$ и $C K$ на основание $A D$ (точки $H$ и $K$ лежат на $A D$ ). Тогда $A H$ и $K D$ — проекции боковых сторон.

3. Поскольку трапеция равнобедренная, $A H = K D .$ Обозначим $A H = x .$

4. Тогда $A D = A H + H K + K D = x + 28 + x = 2 x + 28 .$ Но $A D = 100,$ поэтому:

2 x + 28 = 100

2 x = 72

x = 36

5. В прямоугольном треугольнике $A B H :$ $A B = 60$ (гипотенуза), $A H = 36$ (катет), $B H = h$ (катет, высота). По теореме Пифагора:

h^{2} + 3 6^{2} = 6 0^{2}

h^{2} = 3600 - 1296 = 2304

h = 2304 = 48

6. Рассмотрим треугольник $A C K,$ где $C K$ — высота ( $C K = h = 48$ ), и $A K = A D - K D = 100 - 36 = 64 .$

7. В прямоугольном треугольнике $A C K$ по теореме Пифагора:

A C^{2} = A K^{2} + C K^{2} = 6 4^{2} + 4 8^{2} = 4096 + 2304 = 6400

A C = 6400 = 80

8. Таким образом, длина диагонали трапеции равна 80.

Ответ: 80