Задача №09729

Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC\text{,}$ точка $M$ является серединой стороны $AC\text{.}$ Следовательно:

$$AM=MC=\frac{AC}{2}=\frac{45}{2}=22,5.$$

В треугольнике $BMC$ стороны $BC$ и $BM$ равны по условию ($BC=BM$), значит, треугольник $BMC$ — равнобедренный с основанием $MC\text{.}$

Высота $BH$ треугольника $ABC$ также является высотой треугольника $BMC\text{,}$ проведённой к основанию $MC\text{.}$ Поскольку в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой, точка $H$ — середина отрезка $MC\text{.}$ Тогда:

$$MH=HC=\frac{MC}{2}=\frac{22,5}{2}=11,25.$$

Длина отрезка $AH$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MH\text{:}$

$$AH=AM+MH=22,5+11,25=33,75.$$

Ответ: $33,75$