Задача №09713

Угол $C$ равен $90^{\circ }\text{,}$ значит $AB$ — гипотенуза, а $CH$ — высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу.

По основному тригонометрическому тождеству найдём синус угла $A\text{:}$

$$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-0,6^2}=\sqrt{1-0,36}=\sqrt{0,64}=0,8.$$

Катет $BC$ лежит против угла $A\text{,}$ поэтому $BC=AB\cdot \sin A\text{.}$ Отсюда гипотенуза:

$$AB=\frac{BC}{\sin A}=\frac{20}{0,8}=25.$$

Катет $AC$ прилежит к углу $A\text{,}$ поэтому:

$$AC=AB\cdot \cos A=25\cdot 0,6=15.$$

Высоту $CH\text{,}$ опущенную на гипотенузу, найдём из равенства площадей треугольника $ABC\text{,}$ записанных двумя способами:

$$\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH.$$

Тогда:

$$CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{15\cdot 20}{25}=\frac{300}{25}=12.$$

Ответ: 12.