Задача №09710

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB=50\text{,}$ $AC=96\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

1. Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, то такой параллелограмм является ромбом. Следовательно, все его стороны равны:
$AB=BC=CD=DA=50\text{.}$

2. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD\text{.}$ Тогда:

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB\text{.}$ Угол $\angle AOB=90^{\circ }\text{,}$ так как диагонали ромба перпендикулярны. По теореме Пифагора:

4. Так как точка $O$ делит диагональ $BD$ пополам, то:

Ответ: 28.