Перейти к основному содержимому

Математика
Математика (база) ЕГЭ
Задачи
№09708

Задача №09708

Средне

Задача #09708

Треугольники и их элементы•1 балл

Задача №09708, тип №12 Планиметрия, Математика (база) ЕГЭ, изображение задачи.

Проверить решение?

Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка

Решай похожие задачи

Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения

Задача по теме "Треугольники и их элементы"

Задача по теме "Треугольники и их элементы"

Задача по теме "Треугольники и их элементы"

Информация

ЭкзаменЕГЭ

Часть

1

Раздел

Геометрия

Тип задачи№12 Планиметрия

ТемаТреугольники и их элементы

ИсточникОткрытый банк задач ФИПИ

Откуда задача

ФИПИ

Теги

Основное тригонометрическое тождество и его следствияПлощадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектораТреугольник

В прямоугольном треугольнике $A B C$ угол $C$ равен $9 0^{\circ},$ $cos B = \frac{5}{13} .$ Гипотенуза $A B = 39 .$ Найдите площадь треугольника $A B C .$

В прямоугольном треугольнике $A B C$ с прямым углом $C$ косинус острого угла $B$ равен отношению прилежащего катета $B C$ к гипотенузе $A B :$

cos B = \frac{B C}{A B}

Выразим и найдём катет $B C :$

B C = A B \cdot cos B = 39 \cdot \frac{5}{13} = 3 \cdot 5 = 15

По теореме Пифагора для треугольника $A B C :$

A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}

Отсюда найдём второй катет $A C :$

A C = A B^{2} - B C^{2} = 3 9^{2} - 1 5^{2}

Применим формулу разности квадратов для упрощения вычислений:

A C = (39 - 15) (39 + 15) = 24 \cdot 54 = 4 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 6 = 36 \cdot 36 = 36

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 15 = 18 \cdot 15 = 270