Задача №09708 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90^, cos B = (5)/(13). Гипотенуза AB = 39. Найдите площадь треугольника ABC.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C косинус острого угла B равен отношению прилежащего катета BC к гипотенузе AB: cos B = (BC)/(AB) Выразим и найдём катет BC: BC = AB * cos B = 39 * (5)/(13) = 3 * 5 = 15 По теореме Пифагора для треугольника ABC: AB^2 = AC^2 + BC^2 Отсюда найдём второй катет AC: AC = sqrt(AB^2 - BC^2) = sqrt(39^2 - 15^2) Применим формулу разности квадратов для упрощения вычислений: AC = sqrt((39 - 15)(39 + 15)) = sqrt(24 * 54) = sqrt(4 * 6 * 9 * 6) = sqrt(36 * 36) = 36 Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S = (1)/(2) * AC * BC = (1)/(2) * 36 * 15 = 18 * 15 = 270

270