Задача №09702

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150°\text{,}$ $AB=24\text{.}$ Найдите длину биссектрисы $BK\text{.}$

Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме дают $180°\text{.}$ Поэтому внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ равны:

Так как $\angle A=\angle C\text{,}$ треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$ и $AB=BC\text{.}$

Биссектриса $BK\text{,}$ проведённая из вершины $B$ к основанию равнобедренного треугольника, является одновременно высотой и медианой. Значит, $BK\perp AC\text{,}$ и треугольник $ABK$ прямоугольный с прямым углом при вершине $K\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABK$ угол при вершине $A$ равен $30°\text{,}$ гипотенуза $AB=24\text{,}$ а катет $BK$ лежит против угла $A\text{.}$ Тогда:

Ответ: 12.