В равнобедренном треугольнике ABC медиана BK = 16, боковая сторона BC = 34. Найдите длину отрезка MN, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковые стороны равны: AB = BC = 34. Медиана BK, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, также является его высотой. Значит, треугольник BKC — прямоугольный ( BKC = 90^). По теореме Пифагора в треугольнике BKC: KC = sqrt(BC^2 - BK^2) = sqrt(34^2 - 16^2) = sqrt((34 - 16)(34 + 16)) = sqrt(18 * 50) = sqrt(900) = 30. Поскольку BK — медиана, точка K является серединой AC. Следовательно, длина основания AC равна: AC = 2 * KC = 2 * 30 = 60. Отрезок MN соединяет середины боковых сторон AB и BC, поэтому MN — средняя линия треугольника ABC, параллельная основанию AC. Длина средней линии равна половине длины основания: MN = (AC)/(2) = (60)/(2) = 30. Ответ: 30.

30