Задача №09699

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ боковые стороны равны: $AB=BC=34\text{.}$

Медиана $BK\text{,}$ проведённая к основанию равнобедренного треугольника, также является его высотой. Значит, треугольник $BKC$ — прямоугольный ($\angle BKC=90^{\circ }$).

По теореме Пифагора в треугольнике $BKC\text{:}$

$$KC=\sqrt{B{C}^2-B{K}^2}=\sqrt{34^2-16^2}=\sqrt{(34-16)(34+16)}=\sqrt{18\cdot 50}=\sqrt{900}=30.$$

Поскольку $BK$ — медиана, точка $K$ является серединой $AC\text{.}$ Следовательно, длина основания $AC$ равна:

$$AC=2\cdot KC=2\cdot 30=60.$$

Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон $AB$ и $BC\text{,}$ поэтому $MN$ — средняя линия треугольника $ABC\text{,}$ параллельная основанию $AC\text{.}$ Длина средней линии равна половине длины основания:

$$MN=\frac{AC}{2}=\frac{60}{2}=30.$$

Ответ: 30.