В равнобедренном треугольнике ABC медиана BK = 9, боковая сторона BC = 41. Найдите длину отрезка MN, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.

В равнобедренном треугольнике ABC с боковыми сторонами AB = BC медиана BK, проведённая к основанию AC, является одновременно высотой. Поэтому BK AC, а точка K — середина основания AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник BKC с прямым углом при вершине K. В нём BK = 9 — катет, BC = 41 — гипотенуза. По теореме Пифагора: KC = sqrt(BC^2 - BK^2) = sqrt(41^2 - 9^2) = sqrt(1681 - 81) = sqrt(1600) = 40. Так как K — середина AC, то: AC = 2 * KC = 2 * 40 = 80. Отрезок MN соединяет середины боковых сторон AB и BC, то есть является средней линией треугольника, проведённой к основанию AC. Средняя линия параллельна основанию и равна его половине: MN = (AC)/(2) = (80)/(2) = 40. Ответ: 40.

40