Задача №09689

На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD\text{,}$ у которого $AB=10$ и $AD=34\text{,}$ отмечена точка $E$ так, что $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Найдите $ED\text{.}$

1. Рассмотрим прямоугольник $ABCD\text{.}$ Согласно свойствам прямоугольника, его противоположные стороны равны: $BC=AD=34$ и $CD=AB=10\text{.}$ Все внутренние углы равны $90^{\circ }\text{.}$

2. Рассмотрим треугольник $ABE\text{.}$ Угол $B$ равен $90^{\circ }\text{.}$ По условию $\angle EAB=45^{\circ }\text{,}$ следовательно, $\angle AEB=180^{\circ }-90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }\text{.}$

3. Так как в треугольнике $ABE$ два угла равны, он является равнобедренным, откуда $BE=AB=10\text{.}$

4. Найдём длину отрезка $EC\text{.}$ Так как точка $E$ лежит на стороне $BC\text{,}$ то:

5. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ECD\text{,}$ где угол $C$ равен $90^{\circ }\text{.}$ По теореме Пифагора найдём гипотенузу $ED\text{:}$

Ответ: 26