В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов, AB = 58, AC = 80. Найдите BD.

Задача №09687: Планиметрия

В параллелограмме, диагонали которого являются биссектрисами его углов, все стороны равны. Следовательно, данный параллелограмм является ромбом.

Рассмотрим свойства ромба $A B C D :$
1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом ( $A C ⊥ B D$ ).
2. Точка пересечения диагоналей $O$ делит их пополам.

Из условия задачи известно:

A B = 58, A C = 80

Тогда половина диагонали $A C :$

A O = \frac{A C}{2} = \frac{80}{2} = 40

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B O$ ( $∠ A O B = 9 0^{\circ}$ ). По теореме Пифагора:

A B^{2} = A O^{2} + B O^{2}

5 8^{2} = 4 0^{2} + B O^{2}

B O^{2} = 5 8^{2} - 4 0^{2}

Воспользуемся формулой разности квадратов:

B O^{2} = (58 - 40) (58 + 40) = 18 \cdot 98 = 18 \cdot 2 \cdot 49 = 36 \cdot 49

B O = 36 \cdot 49 = 6 \cdot 7 = 42

Так как точка $O$ — середина диагонали $B D,$ то:

B D = 2 \cdot B O = 2 \cdot 42 = 84

Ответ: 84

Задача №09687

Задача #09687

Решай похожие задачи

Информация

Задача #09687

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация