Задача №09685 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

На окружности с центром O и диаметром AB отмечена точка C так, что COB = 120^, AC = 23. Найдите длину диаметра окружности.

Поскольку AB — диаметр окружности, точки A, O и B лежат на одной прямой. Следовательно, углы AOC и COB являются смежными: AOC = 180^ - COB = 180^ - 120^ = 60^. Отрезки OA и OC равны как радиусы окружности. Таким образом, треугольник AOC — равнобедренный с основанием AC. Так как угол при вершине равнобедренного треугольника равен 60^, то углы при его основании также равны 60^: OAC = OCA = (180^ - 60^)/(2) = 60^. Следовательно, треугольник AOC является равносторонним. Из этого следует, что радиус окружности равен стороне AC: R = OA = AC = 23. Диаметр окружности AB равен двум радиусам: AB = 2R = 2 * 23 = 46. Ответ: 46.

46